Orkun Kökçü 29 Aralık 2000 tarihinde Hollanda’da dünyaya geldi. 2014 yılında Feyenoord gençlik akademisine katıldı. 17 Eylül 2018’de KNVB Kupası’nın ilk turunda VV Gemert karşısında 4-0 galibiyetle ayrıldıkları maçta 17 yaşında Feyenoord formasıyla ilk kez sahaya çıktı ve Feyenoord’un ikinci golünü attı. Eredivisie’de ilk maçını 9 Aralık 2018’de FC Emmen takımına karşı yaptı ve oyuna sonradan girdikten sonra bir gol ve birde asist yaparak skora katkıda bulundu. 10 Nisan 2019’da, Feyenoord’taki sözleşmesini 2023’e kadar uzattı.

Hollanda U-17, U-18 ve U-19 millî takımlarında oynadı.

2019’da Kökçü, Türkiye adına oynamak istediğini açıkladı. 6 Eylül 2019’da İngiltere U-21 takımına 3-2 kaybettikleri 2021 UEFA 21 Yaş Altı Avrupa Şampiyonası eleme maçında Türkiye U-21 takımının formasını ilk kez giydi.

28 Ağustos 2020’de, Türkiye millî futbol takımına çağrıldı. Orkun Kökçü’nün ailesi Afyonkarahisar ilinin Emirdağ ilçesinin Suvermez köyündendir.